Фактические значения t -статистик:
0,168
18,065
0,0093 b t = = ,
0,836
8,574
0,0975 a t = = ,
0,994
21,376
0,0465 r t = = . Табличное значение t -
критерия Стьюдента при a = 0,05 и числе степеней свободы
n = n - 2 = 6 есть табл t = 2,447 . Так как b табл t > t , a табл t > t и r табл t > t ,
то признаем статистическую значимость параметров регрессии и
показателя тесноты связи. Рассчитаем доверительные интервалы для
параметров регрессии a и b: a a ± t ×m и b b ± t ×m . Получим, что
a* Î[0,597; 1,075] и b* Î[0,145; 0,191].
Средняя ошибка аппроксимации (находим с помощью столбца 10
таблицы 1.3;
ɵ
i xi 100%
i
i
y y
A
y
-
= × ) A = 6,52% говорит о хорошем
качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе
модели к исходным данным.
И, наконец, найдем прогнозное значение результативного фактора
ɵ
0 y при значении признака-фактора, составляющем 110% от среднего
26
уровня x0 =1,1× x =1,1×8,95 = 9,845, т.е. найдем расходы на питание,
если доходы семьи составят 9,85 тыс. руб.
ɵ
0 y = 0,836 + 0,168×9,845 = 2,490 (тыс. руб.)
Значит, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб., то расходы на
питание будут 2,490 тыс. руб.
Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза
ɵ
( ) ( ) 2 2
ост 2
1 1 9,845 8,95
1 0,021 1 0,154
p 8 8 30,56
p
y
x
x x
m S
n n s
-  - 
= × + + = × + +  =
×  ×   
,
а доверительный интервал (
0 ˆ0 табл 0 ˆ табл ˆ ˆ
y x yx y -m × t £ y* £ y + m × t ):
0 2,113 < yˆ* < 2,867.
Т.е. прогноз является статистически надежным.
Теперь на одном графике изобразим исходные данные и линию
регрессии:
Рис. 1.5. Исходные данные и теоретическая прямая.
27
1.2. Нелинейные модели парной регрессии и корреляции
Если между экономическими явлениями существуют нелинейные
соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих
нелинейных функций.
Различают два класса нелинейных регрессий:
1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ
объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам,
например
– полиномы различных степеней – ɵ 2
yx = a + b × x + c × x ,
ɵ 2 3
x y = a + b × x + c × x + d × x ;
– равносторонняя гипербола – ɵ
x y = a + b x ;
– полулогарифмическая функция – ɵ ln x y = a + b × x .
2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам,
например
– степенная – ɵ b
x y = a × x ;
– показательная – ɵ x
x y = a ×b ;
– экспоненциальная – ɵ ea b x
x y = + × .
Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к
линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка
параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.
Рассмотрим некоторые функции.
Парабола второй степени
ɵ 2
x y = a + b × x + c × x приводится к
линейному виду с помощью замены: 2
1 2 x = x , x = x . В результате
приходим к двухфакторному уравнению
ɵ
x 1 2 y = a + b × x + c × x , оценка
параметров которого при помощи МНК, как будет показано в параграфе
2.2 приводит к системе следующих нормальных уравнений:
28
1 2
2
1 1 1 2 1
2
2 1 2 2 2
;
;
.
a n b x c x y
a x b x c x x x y
a x b x x c x x y
 × + × + × =

× + × + × × = × 

× + × × + × = × 
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ
А после обратной замены переменных получим
2
2 3
2 3 4 2
;
;
.
a n b x c x y
a x b x c x x y
a x b x c x x y
 × + × + × =

× + × + × = × 

× + × + × = × 
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ
(1.17)
Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для
определенного интервала значений фактора меняется характер связи
рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или
обратная на прямую.
Равносторонняя гипербола
ɵ
x y = a + b x может быть использована
для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива
от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от
величины товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня
безработицы (например, кривая А.В. Филлипса), расходов на
непродовольственные товары от доходов или общей суммы расходов
(например, кривые Э. Энгеля) и в других случаях. Гипербола приводится
к линейному уравнению простой заменой: z = 1x . Система линейных
уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:
2
1
;
1 1 1
.
a n b y
x
a b y
x x x
 × + × = 

 × + × = × 
Σ Σ
Σ Σ Σ
(1.18)
Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости
ɵ ln x y = a + b × x , ɵ
x y = a + b × x и другие.
29
Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по
оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные
модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью
соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и
нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не
приводятся).
К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная
функция – ɵ b
yx = a × x , показательная – ɵ x
x y = a ×b , экспоненциальная –
ɵ ea b x
x y = + × , логистическая – ɵ
1 e x c x
a
y
b - × =
+ ×
, обратная – ɵ 1
x y
a b x
=
+ ×
.
К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести
следующие модели: ɵ c
x y = a + b × x , ɵ 1
1
1 x b y a
x
  = ×  -   - 
.
Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная
функция
y = a × xb ×e , которая приводится к линейному виду
логарифмированием:
ln y = ln(a × xb ×e );
ln y = ln a + b × ln x + lne ;
Y = A + b × X + E,
где Y = ln y, X = ln x, A = ln a, E = lne . Т.е. МНК мы применяем для
преобразованных данных:
2
,
,
A n b X Y
A X b X X Y
 × + × = 

× + × = × 
Σ Σ
Σ Σ Σ
а затем потенцированием находим искомое уравнение.
Широкое использование степенной функции связано с тем, что
параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование – он
является коэффициентом эластичности. (Коэффициент эластичности
показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если
30
фактор изменится на 1%.) Формула для расчета коэффициента
эластичности имеет вид:
( ) x
Э f x
y
= ¢ × . (1.19)
Так как для остальных функций коэффициент эластичности не
является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения
фактора x , то обычно рассчитывается средний коэффициент
эластичности:
( ) x
Э f x
y
= ¢ × . (1.20)
Приведем формулы для расчета средних коэффициентов
эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений
регрессии:
Таблица 1.5
Вид функции, y Первая производная,
y¢
Средний коэффициент
эластичности, Э
1 2 3
y = a + b × x +e b
b x
a b x
×
+ ×
y = a + b × x + c × x2 +e b + 2c × x ( )
2
b 2c x x
a b x c x
+ × ×
+ × + ×
b
y a
x
= + +e 2
b
x
- b
a x b
-
× +
y = a × xb ×e a ×b × xb-1 b
y = a ×bx ×e a × lnb ×bx x × lnb
y = a + b × ln x +e b
x ln
b
a + b × x
1 e c x
a
y
b - × +e =
+ × ( )2
e
1 e
c x
c x
a b c
b
- ×
- ×
× × ×
+ × ec x
b c x
b ×
× ×
+
1
y
a b x e
=
+ × + ( )2
b
a b x
-
+ ×
b x
a b x
- ×
+ ×
31
Возможны случаи, когда расчет коэффициента эластичности не
имеет смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых
признаков бессмысленно определение изменения в процентах.
Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной
зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае
это индекс корреляции:
2
ост
2 1 xy
y
r s
s
= - , (1.21)
где ( )2 2 1
y y y
n
s = Σ - – общая дисперсия результативного признака y ,
( ɵ )2
2
ост
1
x y y
n
s = Σ - – остаточная дисперсия.
Величина данного показателя находится в пределах: 0 1 xy £ r £ .
Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь
рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.
Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации
и характеризует долю дисперсии результативного признака y ,
объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
2 2
2 ост факт
2 2 1 xy
y y
s s r
s s
= - = , (1.22)
т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии;
(ɵ )2
2
факт
1
x y y
n
s = Σ - .
Индекс детерминации
2
xy r можно сравнивать с коэффициентом
детерминации
2
xy r для обоснования возможности применения линейной
функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина
2
xy r
меньше
2
xy r . А близость этих показателей указывает на то, что нет
необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно
использовать линейную функцию.
32
Индекс детерминации используется для проверки существенности в
целом уравнения регрессии по F -критерию Фишера:
2
2
1
1
xy
xy
n m
F
m
r
r
= × - -
-
, (1.23)
где
2
xy r – индекс детерминации, n – число наблюдений, m – число
параметров при переменной x . Фактическое значение F -критерия (1.23)
сравнивается с табличным при уровне значимости a и числе степеней
свободы 2 k = n - m -1 (для остаточной суммы квадратов) и 1 k = m (для
факторной суммы квадратов).
О качестве нелинейного уравнения регрессии можно также судить
и по средней ошибке аппроксимации, которая, так же как и в линейном
случае, вычисляется по формуле (1.8).
Рассмотрим пример из параграфа 1.1, предположив, что связь
между признаками носит нелинейный характер, и найдем параметры
следующих нелинейных уравнений: y = a + b × ln x +e ,
y = a + b × x +e и
y = a × xb ×e .
Для нахождения параметров регрессии
ɵ ln x y = a + b × x делаем
замену z = ln x и составляем вспомогательную таблицу ( ɵ
x e = y - y ).
Таблица 1.5
x z y z × y z2 y2 ɵ
x y e e 2 i A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1,2 0,182 0,9 0,164 0,033 0,81 0,499 0,401 0,1610 44,58
2 3,1 1,131 1,2 1,358 1,280 1,44 1,508 -0,308 0,0947 25,64
3 5,3 1,668 1,8 3,002 2,781 3,24 2,078 -0,278 0,0772 15,43
4 7,4 2,001 2,2 4,403 4,006 4,84 2,433 -0,233 0,0541 10,57
5 9,6 2,262 2,6 5,881 5,116 6,76 2,709 -0,109 0,0119 4,20
6 11,8 2,468 2,9 7,157 6,092 8,41 2,929 -0,029 0,0008 0,99
7 14,5 2,674 3,3 8,825 7,151 10,89 3,148 0,152 0,0232 4,62
8 18,7 2,929 3,8 11,128 8,576 14,44 3,418 0,382 0,1459 10,05
Итого 71,6 15,315 18,7 41,918 35,035 50,83 18,720 -0,020 0,5688 116,08
Среднее
значение
8,95 1,914 2,34 5,240 4,379 6,35 – – 0,0711 14,51
s – 0,846 0,935 – – – – – – –
s 2 – 0,716 0,874 – – – – – – –
Найдем уравнение регрессии:
33
( )
2
cov , 5,240 1,914 2,34
1,063
0,716 z
z y
b
s
= = - × = ,
a = y - b × z = 2,34 -1,063×1,914 = 0,305.
Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: ɵ 0,305 1,063 ln x y = + × x .
Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.
Индекс корреляции находим по формуле (1.21):
2
ост
2
0,0711
1 1 0,958
0,874 xy
y
r s
s
= - = - = ,
а индекс детерминации
2 0,918 xy r = , который показывает, что 91,8%
вариации результативного признака объясняется вариацией признака-
фактора, а 8,2% приходится на долю прочих факторов.
Средняя ошибка аппроксимации: A =14,51%, что недопустимо
велико.
F -критерий Фишера:
2
2
1 0,919 8 1 1
68,07
1 1 0,919 1
xy
xy
n m
F
m
r
r
= × - - = × - - =
- -
,
значительно превышает табличное табл F = 5,99.
Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:
Рис. 1.6.
34
Для нахождения параметров регрессии
ɵ
yx = a + b × x делаем
замену z = x и составляем вспомогательную таблицу ( ɵ
x e = y - y ).
Таблица 1.6
x z y z × y z2 y2 ɵ
x y e e 2 i A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1,2 1,10 0,9 0,99 1,2 0,81 0,734 0,166 0,0276 18,46
2 3,1 1,76 1,2 2,11 3,1 1,44 1,353 -0,153 0,0235 12,77
3 5,3 2,30 1,8 4,14 5,3 3,24 1,857 -0,057 0,0033 3,19
4 7,4 2,72 2,2 5,98 7,4 4,84 2,247 -0,047 0,0022 2,12
5 9,6 3,10 2,6 8,06 9,6 6,76 2,599 0,001 0,0000 0,05
6 11,8 3,44 2,9 9,96 11,8 8,41 2,912 -0,012 0,0001 0,42
7 14,5 3,81 3,3 12,57 14,5 10,89 3,259 0,041 0,0017 1,20
8 18,7 4,32 3,8 16,43 18,7 14,44 3,740 0,060 0,0036 1,58
Итого 71,6 22,5 18,7 60,24 71,6 50,83 18,700 -0,001 0,0619 39,82
Среднее
значение
8,95 2,82 2,34 7,53 8,95 6,35 – – 0,0077 4,98
s – 1,00 0,935 – – – – – – –
s 2 – 1,00 0,874 – – – – – – –
Найдем уравнение регрессии:
( )
2
cov , 7,53 2,82 2,34
0,931
1,00 z
z y
b
s
= = - × = ,
a = y - b × z = 2,34 - 0,931× 2,82 = -0,286 .
Т.е. получаем следующее уравнение регрессии:
ɵ 0,286 0,931 x y = - + × x . Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей
таблицы.
Индекс корреляции находим по формуле (1.21):
2
ост
2
0,0077
1 1 0,996
0,874 xy
y
r s
s
= - = - = ,
а индекс детерминации
r 2 = 0,991, который показывает, что 99,1%
вариации результативного признака объясняется вариацией признака-
фактора, а 0,9% приходится на долю прочих факторов.
Средняя ошибка аппроксимации: A = 0,0498×100% = 4,98%
показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.
35
F -критерий Фишера:
2
2
1 0,991 8 1 1
660,67
1 1 0,991 1
xy
xy
n m
F
m
r
r
= × - - = × - - =
- -
,
значительно превышает табличное табл F = 5,99.
Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:
Рис. 1.7
Для нахождения параметров регрессии
y = a × xb ×e необходимо
провести ее линеаризацию, как было показано выше:
Y = A + b × X + E ,
где Y = ln y, X = ln x, A = ln a, E = lne .
Составляем вспомогательную таблицу для преобразованных
данных:
36
Таблица 1.7
X Y X ×Y X 2 Y 2 ɵ
x y e e 2 i A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0,182 -0,105 -0,019 0,033 0,011 0,8149 0,0851 0,0072 9,46
2 1,131 0,182 0,206 1,280 0,033 1,3747 -0,1747 0,0305 14,56
3 1,668 0,588 0,980 2,781 0,345 1,8473 -0,0473 0,0022 2,63
4 2,001 0,788 1,578 4,006 0,622 2,2203 -0,0203 0,0004 0,92
5 2,262 0,956 2,161 5,116 0,913 2,5627 0,0373 0,0014 1,43
6 2,468 1,065 2,628 6,092 1,134 2,8713 0,0287 0,0008 0,99
7 2,674 1,194 3,193 7,151 1,425 3,2165 0,0835 0,0070 2,53
8 2,929 1,335 3,910 8,576 1,782 3,7004 0,0996 0,0099 2,62
Итого 15,315 6,002 14,637 35,035 6,266 18,608 0,0919 0,0595 35,14
Среднее
значение
1,914 0,750 1,830 4,379 0,783 – – 0,0074 4,39
s 0,846 0,470 – – – – – – –
s 2 0,716 0,221 – – – – – – –
Найдем уравнение регрессии:
( )
2
cov , 1,830 1,914 0,750
0,551
0,716 X
X Y
b
s
= = - × = ,
A = Y - b × X = 0,750 - 0,551×1,914 = -0,305.
Т.е. получаем следующее уравнение регрессии:
 0,305 0,551 Y x = - + × X . После потенцирования находим искомое
уравнение регрессии:
ɵ 0,737 0,551 x y = × x .
Теперь заполняем столбцы 7-10 нашей таблицы.
Индекс корреляции находим по формуле (1.21):
2
ост
2
0,0074
1 1 0,983
0,221 xy
y
r s
s
= - = - = ,
а индекс детерминации
r 2 = 0,967, который показывает, что 96,7%
вариации результативного признака объясняется вариацией признака-
фактора, а 3,3% приходится на долю прочих факторов.
Средняя ошибка аппроксимации: A = 4,39% показывает, что
линия регрессии хорошо приближает исходные данные.
37
F -критерий Фишера:
2
2
1 0,967 8 1 1
175,82
1 1 0,967 1
xy
xy
n m
F
m
r
r
= × - - = × - - =
- -
,
значительно превышает табличное табл F = 5,99.
Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:
Рис. 1.8.
Сравним построенные модели по индексу детерминации и средней
ошибке аппроксимации:
Таблица 1.8
Модель
Индекс детерминации,
R2 ( 2
xy r , 2
xy r )
Средняя ошибка
аппроксимации, A, %
Линейная модель,
ɵ
x y = a + b × x 0,987 6,52
Полулогарифмическая
модель,
ɵ ln x y = a + b × x
0,918 14,51
Модель с квадратным
корнем,
ɵ
x y = a + b × x
0,991 4,98
Степенная модель,
y = a × xb ×e 0,967 4,39
38

27 лет целка патриотка а мудозвон ебать жалко что он первый и эта хуйня про меня по городу прошла а не то что я музыкант ну ладно. вот кстати мой релиз picpack.org.ua/content/picpack93-killdichallfan... он первый и любит электронику, опору на электронику сделала, щас может в рок пойду, как0то видела он на детройте виджеил, если еще и там напиздит что не знает меня а я приебалась это пиздец полный. во-первых, одна толпаю вот мой аккаунт vk.com/id5407368 там фотки, он меня послал, лни меня бросили терперь почти не тусю(((((((((( во-вторых один универ один факультет. свалила в горловку на заочно там почти никого не знаю на моем вт дпишном все друзья остались и он меня позорит, пришла рассказы читать он приебал дибила какогото витю нихуя мне не дали подняться. потом прихожу такая на книжный в магазинчик где я книжки про националистов покупала лет с 15 продавец такой як ваша журналістика я такая хорошо ну блин от стыда чуть не провалилась и скорее всего он все понял ппц. сука славель ненавижу

Бог - прав
Тлением трав,
Сухостью рек,
Воплем калек,

Вором и гадом,
Мором и гладом,
Срамом и смрадом,
Громом и градом.

М. Цветаева

давайте забьем. я почти уверена что на самом деле людей порядочных ъ не насилуете. что это чмо ныло а мне пизду прислали хотя сам говорил пришли мне пизду если невинная. сама когда-то такое вымочила один тип год разводил, думала, наверняк будут отношения, мочили прикалывались, ахуеенийший тип и вдруг он сказал что девушка беременная. на пары забила бухала дома однажды нажралась рево много не знала что там чуток наркотиков просыпаюсь на след день четкая уверенность что он приходил и изнасиловал еще и голос не в голове мысль а четкий голос я у тебя в комнате вино оставил. позвонила брату криминальному авторитету этого типа по городу искали потом повезли меня к гене целка, ну шо, в психушку ложили психотическая депрессия. сама такое мочила, если вы на самом деле добрые, а вы добрые, иначе бы я с вами не дружила, сейчас мало общалась, ну раньше я старалась даже добро вкладывать в дружбу. только не дрочите что я невинную пизду вам послала, у меня горе, чуть не выебали. и я щас нажралась канари и рево, у меня уже иммунитет на него.

подбивала всех провести демонстации. ну как от славик сказал что я прошлое. это он меня опозорил с меня орут и то к чему я еще стремилась стало прошлым. однажды иду с яной на вашем районе смотрю молодая пара с ребенком сначала на тебя проглючило славик ну потом смотрю вроде не ты. и я ему звонила позавчероа\\ говорила как мне ебать тусить изза него с меня орут он мне помешал он сказал что не мешает потому что меня не знает но я слышала боль в его голосе может не спиздел что не изменял.

я прочитала летом статью что в харькове сносят памятник независимости украине, хротела всех подбить на демонстрация в донецке. вступала в тризуб но не до конца вступила, звали на сборы в тернополь я чето морознулась, потом спрашивали сокол приезжал? рассказывал как устраивать акции? я чуть не застрелилась. смотрела фильм когда-то стена чувака музыканта бросила девушка и он ушел в политику. а мне блядь куда деваться от этой политической твари котораяяя рассказывает что невинная а я мудозвон?

знаю, что прочлавилась хуйней, хотя я музыкант. ну ладно. у меня когда-то был ахуенный друг из тризуба фашист настоящий украинский. и по ящику вас хвалили что патриоты. следите за событиями, не разрешают митинги донецкие? шествия! зызубрить истории идей на тему митинга позвать телевидение выебнуться и донецк не похуисты.

ну хуя слава мне дохуя что ты умничка программист и закодачивешь около тысяченки двух как я подозреваю. когда я без работы мне папа дает 20 грн в день покупаю сигареты и хренб какую пожрать и пох. а что умничка думала интересно с тобой и нихера не ебать и кошелек чистить.

если мало людей соберется на шествие, позвать или примкнуть к свободе. иначе во-первых оралова, во-вторых коммунисты побьют

это произошло. Я не получила радости и романтики, сейчас бы вернулась переступила через гордость и обиду что он морозился и сделала бы своими руками цветочек. Слава, слава, почему же ты такой мороз. Ну что теперь, теперь моя очередь дразнить целочек писюха. Подругу уже дразнила, еще кое-кого подразню. Стала одинокой ну кто остался из друзей спасибо.

я сильно доброй стала(((( не то, чтобы доброй, я и была доброй, мягкой какой-то стала(((((((

влюбленный был. а ты коняра попался мне блядь тебе конец